Question

【題目】已知關于x的函數 ．
（1）如果函數 ，求b、c；
（2）設當x∈（ ，3）時，函數y=f（x）﹣c（x+b）的圖象上任一點P處的切線斜率為k，若k≤2，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 導數為f′（x）=﹣x2+2bx+c，

函數 ，可得f（1）=﹣ ，f′（1）=0，

即為﹣1+2b+c=0，﹣ +b+c+bc=﹣ ，

解得b=1，c=﹣1；b=﹣1，c=3．

當b=1，c=﹣1時，f′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0，f（x）遞減，不滿足題意；

當b=﹣1，c=3時，f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），滿足題意．

綜上可得，b=﹣1，c=3

（2）解：函數y=f（x）﹣c（x+b）=﹣ x3+bx2，導數f′（x）=﹣x2+2bx，

由題意可得﹣x2+2bx≤2在x∈（ ，3）時恒成立，

即有2b≤x+ 的最小值，

由x+ ≥2 =2 ，當且僅當x= 時，取得最小值2 ．

即有2b≤2 ，解得b≤ ，

則b的范圍是（﹣∞， ]

【解析】（1）求出函數的導數，由題意可得f（1）=﹣ ，f′（1）=0，解方程可得b，c，檢驗是否由極值點；（2）求得函數y=f（x）﹣c（x+b）=﹣ x3+bx2 ， 求出導數，由題意可得2b≤x+ 的最小值，運用基本不等式可得右邊函數的最小值，即可得到a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．