Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數，即，整理.設直線的方程為，與橢圓聯立，將韋達定理代入整理即可.

(1)由題意可得，，又，

解得，.

所以，橢圓的方程為

(2)存在定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.

設直線的方程為，與橢圓聯立，整理得，.

設，，定點.(依題意

則由韋達定理可得，，.

直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數.

所以，，即得.

又，，

所以，，整理得，.

從而可得，，

即，

所以，當，即時，直線與直線恰關于軸對稱成立. 特別地，當直線為軸時，也符合題意. 綜上所述，存在軸上的定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.