Question

【題目】已知,函數.

(Ⅰ)若有極小值且極小值為0，求的值；

(Ⅱ)當時， , 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)求出導函數，通過研究的解，確定和的解集，以確定的單調性，從而確定是否有極小值，在有極小值時，由極小值為0，解得值，如符合上述范圍，即為所求；

(Ⅱ)先把不等式f(x)+f(-x)≥0具體化為： ，可分類討論此不等式成立的情形， 時恒成立，由于對恒成立，因此只要，不等式滿足恒成立，接著還要研究時，不等式恒成立的的范圍，此時再分類：當時， 恒成立，當時， 恒成立，這時可換元，設，則問題轉化為對恒成立， 對恒成立，可利用導數求最值，由最值＞0或＜0確定出的范圍．

詳解：

(Ⅰ) .

①若，則由解得,

當時， 遞減；當上， 遞增；

故當時， 取極小值，令，得（舍去）.

若，則由，解得.

(i)若，即時，當， .遞增；當上， 遞增.

故當時， 取極小值，令，得（舍去）

（ii）若，即時， 遞增不存在極值；

(iii)若，即時，當上， 遞增； ， 上， 遞減；當上， 遞增.

故當時， 取極小值,得滿足條件.

故當 有極小值且極小值為0時,

(Ⅱ) 等價于，即

當時，①式恒成立；當時， ，故當時，①式恒成立；

以下求當時,不等式恒成立，且當時不等式恒成立時正數的取值范圍.

令,以下求當恒成立，且當,

恒成立時正數的取值范圍.

對求導，得，記.

(i)當時， ,

故在上遞增，又，故,

即當時， 式恒成立；

(ii)當時， ,故的兩個零點即的兩個零點和,在區間上， 是減函數，

又，所以，當時①式不能恒成立.

綜上所述,所求的取值范圍是.