Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：xy2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0）.

（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；

（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.

①求證：線段PQ的中點坐標為；

②求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析;②.

【解析】

（1）先確定拋物線焦點，再將點代入直線方程；（2）①利用拋物線點之間關系進行化簡，結合中點坐標公式求證;②利用直線與拋物線位置關系確定數量關系：，解出p的取值范圍.

（1）拋物線的焦點為

由點在直線上，得，即

所以拋物線C的方程為

（2）設，線段PQ的中點

因為點P和Q關于直線對稱，所以直線垂直平分線段PQ，

于是直線PQ的斜率為，則可設其方程為

①由消去得

因為P 和Q是拋物線C上的相異兩點，所以

從而，化簡得.

方程（*）的兩根為，從而

因為在直線上，所以

因此，線段PQ的中點坐標為

②因為在直線上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范圍為