Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ．
（1）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（0，+∞），且f′（x）=

∵a＞0，∴f′（x）＞0

∴f（x）在定義域上單調遞增

（2）解：由（1）知，f′（x）=

①若a≥﹣1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數

∵f（x）在[1，e]上的最小值為 ，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，

∴a=﹣ （舍去）

②若a≤﹣e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，

∴f（x）min=f（e）=1﹣ = ，∴a=﹣ （舍去）．

③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a．

當1＜x＜﹣a時，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上為減函數；

當﹣a＜x＜e時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）上為增函數，

∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，∴a=﹣ ．

綜上可知：a=﹣

【解析】（1）確定函數的定義域，根據f′（x）＞0，可得f（x）在定義域上的單調性；（2）求導函數，分類討論，確定函數f（x）在[1，e]上的單調性，利用f（x）在[1，e]上的最小值為 ，即可求a的值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．