Question

已知f（x）=（x²+1）（x+a）
（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于1，求a的取值范圍．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）問(wèn)題等價(jià)于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決；
（2）函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點(diǎn)，即y=f′（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，由f′（0）=1＞0知：f′（x）在（0，+∞）上必有兩個(gè)零點(diǎn)，由此得一不等式組，解出即可．

解答：解：（1）x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于1，
等價(jià)于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x²+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故實(shí)數(shù)a 的取值范圍為[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x²+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點(diǎn)，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)即可，
所以有

- 1 3 a＞0 △=4a2-4×3＞0

，解得a＜-

3

．
故a的取值范圍為：（-∞，-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題