Question

已知關(guān)于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當(dāng)k變化時(shí)，試求不等式的解集A；
（2）對(duì)于不等式的解集A，若滿足A∩Z=B（其中Z為整數(shù)集）．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)k的討論是本題解題的關(guān)鍵，考慮到方程類型，最高次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及根的大小等因素．
（2）由（1）的討論為基礎(chǔ)，繼續(xù)分析B中元素的個(gè)數(shù)并比較元素最少的情況

解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，A=（-∞，4）；
當(dāng)k＞0且k≠2時(shí)，4＜k+

4

k

，A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；
當(dāng)k=2時(shí)，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
當(dāng)k＜0時(shí)，k+

4

k

＜4，A=(k+

4

k

，4)．
（2）由（1）知：當(dāng)k≥0時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；
當(dāng)k＜0時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合B為有限集．
因?yàn)?span id="m0wciys" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">k+

4

k

≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)k=-2時(shí)，集合B的元素個(gè)數(shù)最少．
此時(shí)A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的分類討論的思想，這也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常考查的思想內(nèi)容．