Question

已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）設g(x)=-x2+2bx+3．當a=-

1

3

時，若對任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），求實數b取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，知f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，由此能推導出函數f（x）的單調性．
（2）當a=-

1

3

時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=

1

3

，欲使f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

，由此能求出實數b取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
當a≥0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a≤-1時，f′（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當-1＜a＜0時，由f′（x）=0，得x2=-

a+1

2a

，
∵x＞0，∴x=

- a+1 2a

，
當x∈（0，

- a+1 2a

）時，f′（x）＞0，
當x∈（

- a+1 2a

，+∞）時，f′（x）＜0，
函數f（x）在（0，

- a+1 2a

）上單調遞增；在（

- a+1 2a

，+∞）上單調遞減．
（2）當a=-

1

3

時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=

1

3

，
欲使符合條件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

2

3

成立，
則由2bx≥x2-

7

3

，得到2b≥x-

7

3x

，
∵x-

7

3x

在[1，2]上有最小值-

4

3

，
因此2b≥-

4

3

，故b≥-

2

3

．

點評：本題考查函數的單調性的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．