Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2+b2+ ab=c2 ．
（1）求C；
（2）設cosAcosB= ， = ，求tanα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2+b2+ ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ ab，

∴由余弦定理得：cosC= = =﹣ ，

又C為三角形的內角，

則C=

（2）解：由題意 = = ，

∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）= ，

即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB= ，

∵C= ，A+B= ，cosAcosB= ，

∴sin（A+B）= ，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB= ﹣sinAsinB= ，即sinAsinB= ，

∴ tan2α﹣ tanα+ = ，即tan2α﹣5tanα+4=0，

解得：tanα=1或tanα=4

【解析】（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；（2）已知第二個等式分子兩項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切，利用多項式乘多項式法則計算，由A+B的度數求出sin（A+B）的值，進而求出cos（A+B）的值，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（A+B），將cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，將各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．
【考點精析】掌握兩角和與差的余弦公式和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的余弦公式：；余弦定理:;;．