Question

已知數列中，是的前項和，且是與的等差中項，其中是不等于零的常數.
（1）求； （2）猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

（1），，；（2）見解析.

(1)先確定,然后要以先求出a₁,進而可以求出a₂,a₃;
(2)根據第（1）求出的結果進行猜想.然后再利用數學歸納法證明時兩個步驟缺一不可. 
解： （1）由題意，                     
當時，， ∴ ；           
當時，，  ∴ ；     
當時，,   ∴ ； 
（2）猜想：.                      
證明：①當時，由（1）可知等式成立；            
②假設時等式成立，即：，
則當時，，
∴，  ∴， 
即時等式也成立.                            
綜合①②知：對任意均成立.