Question

【題目】設函數f（x）在R上存在導數f′（x），x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．則實數m的取值范圍為（ ）
A.[﹣2，2]
B.[2，+∞）
C.[0，+∞）
D.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣ x2，

∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣ x2+f（x）﹣ x2=0，

∴函數g（x）為奇函數．

∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，

故函數g（x）在（0，+∞）上是減函數，故函數g（x）在（﹣∞，0）上也是減函數，

由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數，

∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+ （4﹣m）2﹣g（m）﹣ m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，

∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，

所以答案是：B．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．