Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，頂點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點H、Q，求|HQ|．

Answer 1

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質推出 NC+NM=r=2

2

＞AC，再利用橢圓的定義知，點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，利用待定系數法求出橢圓的方程．
（2）點斜式寫出直線l方程，代入曲線E的方程，轉化為一元二次方程，利用根與系數的關系和弦長公式求出|HQ|．

解答：解：（1）設點N的坐標為（x，y），∵

AM

=2

AP

，∴點P為AM的中點，
∵

NP

•

AM

=0，∴NP⊥AM，∴NP是線段AM的垂直平分線，∴NM=NA，
又點N在CM上，設圓的半徑是 r，則 r=2

2

，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2

2

＞AC，∴點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，
∵2a=2

2

，c=1，∴b=1，∴橢圓 

x2

2

+y²=1，即曲線E的方程：

x2

2

+y²=1．
（2）∵過點A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點H、Q，∴直線l方程為 y-0=x-1，
代入曲線E的方程得：3x²-4x=0，∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=0，
由弦長公式得：|HQ|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

3

，

點評：本題考查用定義法求軌跡方程，及直線與橢圓的位置關系，利用弦長公式求出弦長，屬于中檔題．