Question

【題目】如圖,已知拋物線C頂點在坐標原點，焦點F在Y軸的非負半軸上，點是拋物線上的一點.

（1）求拋物線C的標準方程

（2）若點P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點P,Q處的切線交于點S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1，k2,且滿足,當P,Q在C上運動時，△PQS的面積是否為定值？若是，求出△PQS的面積；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值4

【解析】

（1）設出拋物線方程，將M坐標代入，計算方程，即可。（2）設出直線PQ的方程，結合得到，計算S的坐標，結合點到直線距離公式，計算所求三角形高，結合直線截拋物線所得弦長，計算PQ，計算面積，即可。

（1）設拋物線的方程為將M（-2，1）點坐標代入方程中，解得

（2）設，設直線PQ的方程為,代入拋物線方程，得到，則，結合，而

則，代入，得到所以

，解得

過P點的切線斜率為，過Q切線斜率為，則PS的方程為，QS的方程為，聯解這兩個方程，得到S的坐標為，故點S的直線PQ的距離為，而PQ的長度為，故面積為

，故為定值。