Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+y2=16，F（﹣1，0），M是圓C上的一個動點，線段MF的垂直平分線與線段MC相交于點P．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）記點P的軌跡為C1 ， A、B是直線x=﹣2上的兩點，滿足AF⊥BF，曲線C1與過A，B的兩條切線（異于x=﹣2）交于點Q，求四邊形AQBF面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意得圓心C（0，1），半徑r=4， ∵線段MF的垂直平分線與線段MC相交于點P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．
∴點P的軌跡方程是以C，F為焦點，長軸長為4的橢圓，
即a=2，c=1，則b=22﹣1=3，
∴P的軌跡方程是 ．
（Ⅱ）依題意，直線AF斜率存在且不為零，設為y=k（x+1），
令x=﹣2得A（﹣2，﹣k），同理B（﹣2， ）．
設過點A的切線為y=k1（x+2）﹣k，代入
得 x+4[（2k1﹣k）2﹣3]=0．
由 ，解得 ，
同理k2= = ．
聯立方程組： ，解得x=﹣4．
∴ = ，當且僅當k=±1時等號成立，
∴四邊形AQBF面積的取值范圍是[3，+∞）．

【解析】（I）利用中垂線的性質得出|PF|+|PC|=4，于是P點軌跡為橢圓，根據橢圓定義得出橢圓方程；（II）設AF的斜率為k，用k表示出A，B的坐標，設過A點的切線斜率為k1 ， 聯立方程組得出k1和k的關系，同理得出過B點的切線方程，再聯立方程組得出Q點坐標，得出四邊形面積關于k的解析式，利用不等式得出面積的范圍．