Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直線B₁C與平面ABC成30°角．
（1）求證：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；   
（2）求C₁到平面B₁AC的距離；   
（3）求三棱錐A₁-AB₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC，AC?平面ABC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B₁B⊥AC，又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，根據(jù)線面垂直的判定可知可知AC⊥平面 ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）根據(jù)A₁C₁∥AC，A₁C₁?平面B₁AC，AC?平面B₁AC，滿足線面平行的判定定理，則A₁C₁∥平面B₁AC，則C₁到平面B₁AC的距離就是求A₁到平面B₁AC的距離，過A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足為M，連接CM，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知A₁M⊥平面B₁AC，求出A₁M即為所求；
（3）根據(jù)直線B₁C與平面ABC成30°則∠B₁CB=30°，可得B₁C=2a，BC=

3

a，然后根據(jù)VA1-AB1C=VB1-ABC，從而求出所求．

解答：解：（1）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面 ABB₁A₁，
又AC?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵A₁C₁∥AC，A₁C₁?平面B₁AC，AC?平面B₁AC
∴A₁C₁∥平面B₁AC
∴C₁到平面B₁AC的距離就是求A₁到平面B₁AC的距離
過A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足為M，連接CM，
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，
∴A₁M⊥平面B₁AC．
從而A₁C=

3

a，又A₁M=

2

2

a，sinA₁CM=

A1M

A1C

=

6

6

∴C₁到平面B₁AC的距離為

2

2

（3）解：∵直線B₁C與平面ABC成30°角，
∴∠B₁CB=30°．
可得B₁C=2a，BC=

3

a，
∴VA1-AB1C=VB1-ABC=

1

3

× 

1

2

×a×

2

a×a=

2

6

a3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面面垂直的判定，以及點(diǎn)到平面距離的度量和三棱錐體積的計(jì)算，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．