Question

數列{a_n}是以a為首項，q為公比的等比數列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．
（1）試用a、q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，試比較c_n與c_n+1的大小；
（3）是否存在實數對（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比數列．若存在，求出實數對（a，q）和{c_n}；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況考慮，當q=1時，得到數列{a_n}每一項都為a，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列舉出b_n的各項，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等差數列的前n項和公式化簡后，得到c_n；當q不等于1時，利用等比數列的前n項和公式表示出數列{a_n}的前n項和，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列舉出b_n的各項，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等比數列的前n項和公式化簡后，得到c_n，綜上，分別寫出b_n和c_n的通項即可；
（2）根據q不等于1，由（1）求出的通項找出c_n與c_n+1，利用做差法比較大小，方法是表示出c_n+1-c_n，化簡后根據已知的條件，判斷其差的正負，即可得到c_n與c_n+1的大小關系；
（3）存在．根據q不等于1和0，由（1）找出數列{c_n}的通項，因為{c_n}成等比數列，所以得到此數列為常數列或常數項和n項的系數為0，列出關于a與q的方程，求出方程的解即可得到a與q的值，經過檢驗得到滿足題意的a與q的值．

解答：解：（1）當q=1時，b_n=1-（a₁+a₂+…+a_n）=1-na，cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-

[(1-a)+(1-na)]n

2

=

a

2

n2+(

a

2

-1)n+2，
當q≠1時，bn=1-(a1+a2+…+an)=1-

a(1-qn)

1-q

cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-

a

1-q

)n-

a

1-q

(q+q2+…+qn)
=2-(1-

a

1-q

)n-

aq

(1-q)2

(1-qn)
=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn
所以bn=

1-na，q=1 1- a(1-qn) 1-q ，q≠1

，
c_n=

a 2 n2+( a 2 -1)n+2  q=1 2- aq (1-q)2 -(1- a 1-q )n+ aq (1-q)2 qn q≠1

；（4分）
（2）因為cn=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn，
所以cn+1=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)(n+1)+

aq

(1-q)2

qn+1cn+1-cn=-(1-

a

1-q

)+

aq

(1-q)2

(qn+1-qn)=-1+

a

1-q

(1-qn+1)
當q＞1時，1-q＜0，1-qⁿ⁺¹＜0；
當0＜q＜1時，1-q＞0，1-qⁿ⁺¹＞0，
所以當a＜0，q＞0且q≠1時，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；（5分）
（3）因為q≠1，q≠0，
所以cn=2-

aq

(1-q)2

-(1-

a

1-q

)n+

aq

(1-q)2

qn，
因為{c_n}為等比數列，則

2- aq (1-q)2 =0 1- a 1-q =0

或

aq (1-q)2 =0 1- a 1-q =0

，
所以

a= 1 3 q= 2 3

或

a=1 q=0

（舍去），所以

a= 1 3 q= 2 3

．（5分）

點評：此題考查學生靈活運用等差、等比數列的前n項和公式化簡求值，掌握等比數列的性質，會利用做差法比較兩式子的大小，是一道中檔題．學生在利用等比數列的前n項和公式時注意公比q不為1．