Question

已知函數,且 

(1) 試用含的代數式表示b,并求的單調區間；

（2）令,設函數在處取得極值，記點M (,)，N(,)，P(),  ,請仔細觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：

（I）若對任意的m (, x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；

（II）若存在點Q(n ,f(n)), x n< m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）

Answer 1

略

解析:

解法1

(Ⅰ)依題意,得

由.

從而

令

①當a>1時,

當x變化時，與的變化情況如下表：

x
	+	－	+
	單調遞增	單調遞減	單調遞增

由此得，函數的單調增區間為和，單調減區間為。

②當時，此時有恒成立，且僅在處，故函數的單調增區間為R

③當時，同理可得，函數的單調增區間為和，單調減區間為

綜上：

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；

當時，函數的單調增區間為R；

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為.

(Ⅱ)由得令得

由（1）得增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值，故M（）N（）。

觀察的圖象，有如下現象：

①當m從-1（不含-1）變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續變為負。

②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp－的m正負有著密切的關聯；

③Kmp－=0對應的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點處的切線斜率；

線段MP的斜率Kmp

當Kmp－=0時，解得

直線MP的方程為

令

當時，在上只有一個零點，可判斷函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上沒有零點，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點。

當時，.

所以存在使得

即當MP與曲線有異于M,P的公共點

綜上，t的最小值為2.

（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為

解法2：

（1）同解法一.

（2）由得，令，得

由（1）得的單調增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值。故M().N()

 (Ⅰ) 直線MP的方程為

由

得

線段MP與曲線有異于M,P的公共點等價于上述方程在(－1,m)上有根,即函數

上有零點.

因為函數為三次函數,所以至多有三個零點,兩個極值點.

又.因此, 在上有零點等價于在內恰有一個極大值點和一個極小值點,即內有兩不相等的實數根.

等價于         即

又因為,所以m 的取值范圍為(2,3)，從而滿足題設條件的r的最小值為2.