Question

【題目】已知函數，.其中，

（1）若.求證：.

（2）若不等式對恒成立，試求的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求導得到，存在，使，，故，代入，計算得到證明.

（2）將代入不等式，得到，根據函數的單調性得到；再設，求導得到單調性，計算得到答案.

（1）由，得，，所以有，

所以在上單調遞增，且，，

所以存在，使，

所以當時，，當時，，

所以，（*）

且，即，兩邊取對數，得，

代入（*），有，得證.

（2）由題意得對成立，

（ⅰ）必要性，將代入上述不等式，得，

即，

令，

易知在上單調遞增，且，所以.

（ⅱ）下證當時，對成立.

即證，

因為，所以，

設，則，

顯然在上單調遞減，且，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故，不等式得證.

由（ⅰ）和（ⅱ）可知.