Question

已知數列a_n的前項和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函數f（x）對任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，數列{b_n}滿足b_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）…+f（

n-1

n

）+f（1）．
（1）分別求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，T_n是數列{c_n}的前項和，是否存在正實數k，使不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n對于一切的n∈N^*恒成立？若存在請指出k的取值范圍，并證明；若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）∵Sn=2n+2-4(n∈N*)，
∴n=1，a1=S1=21+2-4=4…（1分）
n≥2，an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，
n=1時滿足上式，
∴an=2n+1(n∈N*)…（2分）
∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1，…（3分）
∵b_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）…+f（

n-1

n

）+f（1），①
∴bn=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（1）+f（0），②
∴①+②，得2bn=n+1∴bn=

n+1

2

．…（5分）
（2）∵c_n=a_n•b_n，
∴cn=(n+1)•2n…（6分）
∴Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…（8分）
即Tn=n•2n+1…（9分）
要使得不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n恒成立，
∵（n²-9n+26）T_n＞0恒成立，
∴k＞

4ncn

(n2-9n+26)Tn

對于一切的n∈N^*恒成立，
即k＞

2(n+1)

n2-9n+26

…（11分）
令g(n)=

2(n+1)

n2-9n+26

(n∈N*)，
則g(n)=

2(n+1)

(n+1)2-11(n+1)+36

=

2

(n+1)-11+ 36 (n+1)

≤

2

2 (n+1)• 36 (n+1) -11

=2
當且僅當n=5時等號成立，
∴g（n）_max=2…（13分）
所以k＞2為所求．…（14分）