Question

已知：數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若數列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足b_n=na_n，（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1；
令n=2，解得a₂=3…（2分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
兩式相減得a_n=2a_n-1+1…（4分）
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2）…（5分）
又因為a₁+1=2
所以數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列…（6分）
所以an+1=2n，即通項公式an=2n-1…（7分）
（Ⅲ）∵b_n=na_n，
所以bn=n(2n-1)=n•2n-n
所以Tn=(1•2-1)+(2•22-2)+…+（n•2ⁿ-n）
Tn=(1•2+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)…（9分）
令Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1②
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1…（11分）
∴Sn=2(1-2n)+n•2n+1=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（12分）
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

…（13分）