Question

【題目】已知二次函數.

（1）若函數在區間上存在零點，求實數p的取值范圍；

（2）問是否存在常數，使得當時，的值域為區間D，且D的長度為.

（注：區間 的長度為）.

Answer 1

【答案】（1）–20≤p≤12；（2）存在常數q= 8或q= 9，當x∈[q，10]時，的值域為區間，且的長度為12–q．

【解析】

（1）利用零點存在性定理列出關于q的不等式，然后再利用不等式知識求解即可；（2）先利用單調性求出函數的值域，再利用區間長度列出關于q的方程，求解即可。

解：（1）∵二次函數f(x)=x2– 16x+p+ 3的對稱軸是，∴函數在區間上單調遞減，則函數在區間上存在零點須滿足． ……………2分

即(1 + 16 +p+ 3)(1 – 16 +p+ 3)≤0， 解得–20≤p≤12． …………………4分

⑵ 當時，即0≤q≤6時，

的值域為：[f(8)，f(q)]，即[p–61,q2–16q+p+ 3].

∴區間長度為q2– 16q+p+ 3 – (p– 61) =q2– 16q+ 64 =" 12" –q．

∴q2– 15q+ 52 =" 0" ∴，經檢驗不合題意，舍去．……6分

當時，即6≤q<8時，的值域為：，即[p– 61，p– 57]

∴區間長度為p– 57 – (p– 61) =" 4" =" 12" –q∴q= 8．經檢驗q= 8不合題意，舍去. …8分

當q≥8時，的值域為：[f(q)，f(10)]，即 [q2– 16q+p+3，p– 57].

∴區間長度為p– 57 –(q2– 16q+p+ 3) = –q2– 16q– 60 =" 12" –q,

∴q2– 17q+ 72 =" 0" , ∴q= 8或q= 9．經檢驗q= 8或q= 9滿足題意．

所以存在常數q= 8或q= 9，當x∈[q，10]時，的值域為區間，且的長度為12–q． ………………………10分