Question

設函數f(x)＝a²ln x－x²＋ax，a>0.
①求f(x)的單調區間；②求所有實數a，使e－1≤f(x)≤e²對x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

①f(x)的增區間為(0，a)，減區間為(a，＋∞)．②a＝e

①f(x)＝a²ln x－x²＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝.
由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a，
由f′(x)<0知x>a.
所以，f(x)的增區間為(0，a)，減區間為(a，＋∞)．
②由題意知f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e.
由①知f(x)在[1，e]內遞增，
要使e－1≤f(x)≤e²對x∈[1，e]恒成立．
只要 ∴a＝e.