Question

【題目】為了提高生產效益，某企業引進了一批新的生產設備，為了解設備生產產品的質量情況，分別從新、舊設備所生產的產品中，各隨機抽取100件產品進行質量檢測，所有產品質量指標值均在（15，45]以內，規定質量指標值大于30的產品為優質品，質量指標值在（15，30]的產品為合格品.舊設備所生產的產品質量指標值如頻率分布直方圖所示，新設備所生產的產品質量指標值如頻數分布表所示.

質量指標	頻數
（15，20]	2
（20，25]	8
（25，30]	20
（30，35]	30
（35，40]	25
（40，45]	15
合計	100

（1）請分別估計新、舊設備所生產的產品的優質品率.

（2）優質品率是衡量一臺設備性能高低的重要指標，優質品率越高說明設備的性能越高.根據已知圖表數據填寫下面列聯表（單位：件），并判斷是否有95%的把握認為“產品質量高與新設備有關”.

	非優質品	優質品	合計
新設備產品
舊設備產品
合計

附：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

，其中.

（3）用頻率代替概率，從新設備所生產的產品中隨機抽取3件產品，其中優質品數為X件，求X的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（1）70%，55%（2）見解析，有95%的把握認為“產品質量高與新設備有關”.（3）見解析，2.1

【解析】

（1）由頻數分布表可知，將（30，45]的頻數相加，再除以100，即為新設備的優質品率；由頻率分布直方圖可知，將（30，45]的頻率/組距相加，再乘以組距即為舊設備的優質品率；

（2）先填寫2×2列聯表，再根據的公式計算其觀測值，并與附表中的數據進行對比即可作出判斷；

（3）由（1）知，新設備所生產的優質品率為0.7，而X的所有可能取值為0，1，2，3，然后根據二項分布求概率的方式逐一求出每個X的取值所對應的概率即可得分布列，進而求得數學期望.

（1）估計新設備所生產的產品的優質品率為，

估計舊設備所生產的產品的優質品率為

（2）補充完整的2×2列聯表如下所示，

	非優質品	優質品	合計
新設備產品	30	70	100
舊設備產品	45	55	100
合計	75	125	200

∴，

∴有95%的把握認為“產品質量高與新設備有關”.

（3）由（1）知，新設備所生產的優質品率為0.7，而X的所有可能取值為0，1，2，3，

∴，

，

，

.

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.027	0.189	0.441	0.343

數學期望.