Question

【題目】如圖在直三棱柱中， ， 為中點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（I）連結，由題意可證得，從而得為中點，所以，又由題意得得，所以得。（也可通過面面垂直證線面垂直）（II）由題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量分別為， ，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值。

試題解析：

（I）證明：連結，

∵ 平面平面， 平面，

∴ ，

∵為中點，

∴為中點，

∵，

∴①，

法一：由平面， 平面，

得，②，

由①②及，

所以平面．

法二：由平面， 平面，

∴ 平面平面，

又平面平面,

所以平面．

（II）解：由，得，

由（I）知，又，得，

∵，

∴，

∴兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ，

得， ，

設是平面的一個法向量，

由，得,

令，得，

設為平面的一個法向量，

由，得.

令，得，

∴

根據題意知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．