Question

【題目】已知是圓上任意一點，過作軸的垂線段， 為垂足.當點在圓上運動時，線段中點的軌跡為曲線（包括點和點），為坐標原點.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）直線與曲線相切，且與圓相交于兩點，當的面積最大時，試求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或或或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設線段中點， ，則，即，代入，包括點和點，得，即得曲線的方程. （Ⅱ）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，不合題意，故設方程為，聯立，得，因為直線與曲線相切，所以. 又點到直線的距離為，且，表示即得解.

試題解析：

（Ⅰ）設線段中點， ，則，即，

代入，包括點和點，

得， 曲線的方程為.

（Ⅱ）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，不合題意，故設方程為，

聯立，得，

， .

又點到直線的距離為，且，

，

當即時， 的面積最大為4，

，解得， ，

此時直線有4條，方程為或.（或一般方程為：

或或或）