Question

【題目】函數(shù) f（x）=2x﹣ 的定義域為（0，1]（a為實數(shù)）．
（Ⅰ）當a=﹣1時，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）顯然函數(shù)y=f（x）的值域為 ；

（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，則：f'（x）=2+0aa--2x2在定義域上恒成立

而﹣2x2∈[﹣2，0）

∴a≤﹣2

（II）當a≥0時，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)遞增，無最小值，

當x=1時取得最大值2﹣a；

由（2）得當a≤﹣2時，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)遞減，無最大值，

當x=1時取得最小值2﹣a；

當﹣2＜a＜0時，函數(shù)y=f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，無最大值，

當 時取得最小值

【解析】（1）a=﹣1時，函數(shù)為對勾函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像可直接寫出函數(shù)的值域.
（2）函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，則 f '( x ) 0，再進行分離變量進行求解.
（3）對a進行分情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值.

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．