Question

設S為復數集C的非空子集.若對任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.下列命題:
①集合S={a+bi|a,b為整數,i為虛數單位}為封閉集;
②若S為封閉集,則一定有0∈S;
③封閉集一定是無限集;
④若S為封閉集,則滿足S⊆T⊆C的任意集合T也是封閉集.
其中真命題有　　　　　(寫出所有真命題的序號).

Answer 1

①②

設x=a₁+b₁i,y=a₂+b₂i,a₁,b₁,a₂,b₂為整數,
則x+y=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i,x-y=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i,xy=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i,
由于a₁,b₁,a₂,b₂為整數,
故a₁±a₂,b₁±b₂,a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁都是整數,
所以x+y,x-y,xy∈S,
故集合S={a+bi|a,b為整數,i為虛數單位}為封閉集,①是真命題;若S是封閉集,且x=y∈S,則根據封閉集的定義,x-y=x-x=0∈S,故命題②正確;集合S={0},顯然是封閉集,故封閉集不一定是無限集,命題③不正確;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易驗證集合T不是封閉集,故命題④不是真命題.
【方法技巧】集合新定義問題的解題技巧
這種新定義的題目關鍵就是抓住新定義的本質,緊扣新定義進行推理論證,本題中就是根據封閉集滿足其集合中的任意兩個元素的和、差、積還是這個集合中的元素.判斷一個元素是不是集合中的元素,就看這個元素是否符合集合中代表元素的特征.