Question

如圖，在長方體中，，且．

（I）求證：對任意，總有；
（II）若，求二面角的余弦值；
（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）見解析（II）（III）存在

試題分析：（I）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，則，
，從而，
，即．　　                                           ……4分
（II）由（Ｉ）及得，，
設平面的法向量為，則，
從而可取平面的法向量為，
又取平面的法向量為，且設二面角為，
所以　　　　　                                            ……8分
（III） 假設存在實數滿足條件，由題結合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，
即，即，
解得 ．
所以存在滿足題意得實數，
使得在平面上的射影平分.                                    ……12分
點評：立體幾何問題可以轉化為用空間向量來解決，可以省去作二面角、線面角等步驟之間求解，但是求解時一定要注意運算的準確性.