Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）分別在和兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)性，根據(jù)極值的定義可求得對應(yīng)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，分別在上存在唯一零點(diǎn)和為零點(diǎn)兩種情況下，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到的范圍；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知，通過討論的位置確定對應(yīng)端點(diǎn)值的符號，從而得到不等式組，解不等式組求得結(jié)果；綜合兩種情況可得最終結(jié)果.

（1）由題意得：.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值；

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在處取得極小值，極小值為，無極大值.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值.

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，

若在上存在唯一零點(diǎn)，則，即，

解得：.

若是在上的唯一零點(diǎn)，則，解得：（舍）.

②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

.

，

若在上存在唯一零點(diǎn)，則或或，

解得：.

綜上所述：的取值范圍為.