Question

【題目】已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（﹣2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是 k1 ， k2且 ．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M，N． ①若OM⊥ON（O為坐標原點），證明點O到直線l的距離為定值，并求出這個定值
②若直線BM，BN的斜率都存在并滿足 ，證明直線l過定點，并求出這個定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．

∴動點P的軌跡C的方程是

（2）解：設點M（x1，y1），N（x2，y2），聯立 ，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．

∴ ， ．

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= ，

① 若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴ ，

∴ ，化為 ，此時點O到直線l的距離d= ．

②∵kBMkBN=﹣ ，∴ ，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，

∴ + ，

代入化為 ，化簡得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．

當m=0時，直線l恒過原點；

當m=﹣2k時，直線l恒過點（2，0），此時直線l與曲線C最多有一個公共點，不符合題意，

綜上可知：直線l恒過定點（0，0）

【解析】（1）利用斜率計算公式即可得出；（2）把直線l的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，①利用OM⊥ONx1x2+y1y2=0即可得到k與m的關系，再利用點到直線的距離公式即可證明； ②利用斜率計算公式和根與系數的關系即可得出k與m的關系，進而證明結論．