Question

【題目】已知四棱柱中，平面，，，，，點為中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要證平面平面，即在平面找出兩條直線平行于平面，根據題意分析可求得這樣的兩條直線；

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，運用向量知識求得。

解：（Ⅰ）由題意得，，

故四邊形為平行四邊形，

所以，

由平面，平面，

故平面，

由題意可知，

所以，

因為為中點，

所以，

所以

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

由平面，平面，

所以平面，

又由于相交于點B，

平面，

所以平面平面。

（II）由題意，以為坐標原點，

分別以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，

點，

，，

設平面的一個法向量為，

有，，

令，則，

，

令為直線與平面所成的角，

則.