Question

【題目】已知數列{an}中，a1=4，an+1= ，n∈N* ， Sn為{an}的前n項和．
（Ⅰ）求證：n∈N*時，an＞an+1；
（Ⅱ）求證：n∈N*時，2≤Sn﹣2n＜ ．

Answer 1

【答案】證明：（I）n≥2時，作差：an+1﹣an= ﹣ = ，

∴an+1﹣an與an﹣an﹣1同號，

由a1=4，可得a2= = ，可得a2﹣a1＜0，

∴n∈N*時，an＞an+1．

（II）∵2 =6+an，∴ =an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，①

∴an+1﹣2與an﹣2同號，

又∵a1﹣2=2＞0，∴an＞2．

∴Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）=2n+2．

∴Sn﹣2n≥2．

由①可得： = ，

因此an﹣2≤（a1﹣2） ，即an≤2+2× ．

∴Sn=a1+a2+…+an≤2n+2× ＜2n+ ．

綜上可得：n∈N*時，2≤Sn﹣2n＜

【解析】（I）n≥2時，作差：an+1﹣an= ，可得an+1﹣an與an﹣an﹣1同號，由a2﹣a1＜0，即可證明：n∈N*時，an＞an+1．（II）2 =6+an，∴可得=an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，因此an+1﹣2與an﹣2同號，可得Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）．即可證明左邊．由： = ，可得：an≤2+2× ．利用等比數列的求和公式化簡即可證明右邊．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．