Question

【題目】對任意實數x，[x]表示不超過x的最大整數，如[3.6]=3，[﹣3.6]=﹣4，關于函數f（x）=[ ﹣[ ]]，有下列命題： ①f（x）是周期函數；
②f（x）是偶函數；
③函數f（x）的值域為{0，1}；
④函數g（x）=f（x）﹣cosπx在區間（0，π）內有兩個不同的零點，
其中正確的命題為（把正確答案的序號填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：∵f（x+3）=[ ﹣[ ]]=[ +1﹣[ +1]]=f（x），∴f（x）是周期函數，3是它的一個周期，故①正確． f（x）=[ ﹣[ ]]= ，結合函數的周期性可得函數的值域為{0，1}，則函數不是偶函數，故②錯，③正確．
f（x）=[ ﹣[ ]]= ，故g（x）=f（x）﹣cosπx在區間（0，π）內有3個不同的零點 ， ，2，故④錯誤．
則正確的命題是①③，
所以答案是：①③
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．