Question

對于無窮數列{x_n}和函數f（x），若x_n+1=f（x_n）（n∈N₊），則稱f（x）是數列{x_n}的母函數．
（Ⅰ）定義在R上的函數g（x）滿足：對任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(

1

2

)=1；又數列{a_n}滿足：an=g(

1

2n

)．
求證：（1）f（x）=x+2是數列{2ⁿa_n}的母函數；
（2）求數列{a_n}的前項n和S_n．
（Ⅱ）已知f(x)=

2012x+2

x+2013

是數列{b_n}的母函數，且b₁=2．若數列{

bn-1

bn+2

}的前n項和為T_n，求證：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

Answer 1

分析：（I）（1）由題知a1=g(

1

2

)=1，利用g（αβ）=αg（β）+βg（α），及an=g(

1

2n

)，可得2n+1an+1=2nan+2，即可證明f（x）=x+2是數列{2ⁿa_n}的母函數．
（2）由（1）利用等差數列的通項公式即可得出2ⁿa_n，再利用“錯位相減法”即可得出S_n．
（II）由f(x)=

2012x+2

x+2013

是數列{b_n}的母函數，可得bn+1=

2012bn+2

bn+2013

，b₁=2，變形為bn+1-1=

2011(bn-1)

bn+2013

，bn+1+2=

2014(bn+2)

bn+2013

可得

bn+1-1

bn+2+2

=

2011

2014

•

bn-1

bn+2

．從而得出{

bn-1

bn+2

}是等比數列，利用等比數列的通項公式可得

bn-1

bn+2

=

1

4

(

2011

2014

)n-1．再根據0.99＜

2011

2014

＜0.999⇒

1

4

×0.99n-1＜

bn-1

bn+2

＜

1

4

×0.999n-1(n≥2)．累加求和即可證明．

解答：解：（I）（1）由題知a1=g(

1

2

)=1，
an+1=g(

1

2n+1

)=g(

1

2

•

1

2n

)=

1

2

g(

1

2n

)+

1

2n

g(

1

2

)=

1

2

g(

1

2n

)+

1

2n

⇒an+1=

1

2

an+

1

2n

⇒2n+1an+1=2nan+2，
∴f（x）=x+2是數列{2ⁿa_n}的母函數．
（2）由（1）可知：數列{2ⁿa_n}是等差數列，首項為2a₁=2，公差d=2，
∴2ⁿa_n=2+（n-1）×2=2n，解得an=

n

2n-1

．
∴S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
∴Sn=4-

n+2

2n-1

．
（Ⅱ）bn+1=

2012bn+2

bn+2013

，b₁=2，∴bn+1-1=

2011(bn-1)

bn+2013

，bn+1+2=

2014(bn+2)

bn+2013

⇒

bn+1-1

bn+1+2

=

2011

2014

•

bn-1

bn+2

．
從而{

bn-1

bn+2

}是以

b1-1

b1+2

=

1

4

為首項，

2011

2014

為公比的等比數列，
∴

bn-1

bn+2

=

1

4

(

2011

2014

)n-1．
又0.99＜

2011

2014

＜0.999⇒

1

4

×0.99n-1＜

bn-1

bn+2

＜

1

4

×0.999n-1(n≥2)．
故當n≥2時，有

1

4

n

i=1

0.99i-1＜Tn＜

1

4

n

i=1

0.999i-1
⇒

1

4

•

1-0.99n

1-0.99

＜Tn＜

1

4

•

1-0.999n

1-0.999

，
∴25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

點評：本題考查了等差數列的通項公式、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、累加求和、新定義等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．