Question

已知函數f（x）=

1

a-x

-1（其中a為常數，x≠a）．利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x₁=-1時，求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數a，使得取定義域中的任一實數值作為x₁，都可用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

x

1-x

，所以，xn+1=

xn

1-xn

．兩邊取倒數，得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，由等差數列定義求解．
（Ⅱ）構造出一個常數列，即：當x≠a時，方程f（x）=x有解，即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）²-4（1-a）≥0求解．
（Ⅲ）用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，即：

x+1-a

a-x

=a在R中無解．即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解．則有

1+a=0 a2+a-1≠0.

求解，有解則存在，無解則不存在．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=

x

1-x

，
所以，x_n+1=

xn

1-xn

．
兩邊取倒數，得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，
即

1

xn+1

-

1

xn

=-1．又

1

x1

=-1，
所以數列{

1

xn

}是首項為-1，公差d=-1的等差數列．（3分）
故

1

xn

=-1+（n-1）•（-1）=-n，
所以x_n=-

1

n

，
即數列{x_n}的通項公式為x_n=-

1

n

，n∈N^*．（4分）
（Ⅱ）根據題意，只需當x≠a時，方程f（x）=x有解，（5分）
即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
將x=a代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．
故方程不可能有解x=a．（7分）
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
即實數a的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）假設存在實數a，使得取定義域中的任一實數值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，那么根據題意可知，

x+1-a

a-x

=a在R中無解，（12分）
即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解，
因此

1+a=0 a2+a-1≠0.

解得a=-1．
故a=-1即為所求a的值．（14分）

點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了等差數列的定義，通項數列的存在性與方程有無根的關系．屬中檔題．