Question

【題目】橢圓： 的左右焦點分別為， ，左右頂點分別為， ， 為橢圓上的動點（不與， 重合），且直線與的斜率的乘積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于， ， ， 四點，線段、的中點分別為、，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析， 經過定點為

【解析】試題分析：（1）根據題意，列出方程，求解的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設直線： ，聯立橢圓方程，求得的坐標，

由題設若直線關于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關于軸對稱，得該定點一定是直線與的交點，進而求得直線過定點．

試題解析：

（1）設，由題，整理得，

，整理得，

結合，得， ，

所求橢圓方程為．

（2）設直線： ，聯立橢圓方程，得，

得， ，

∴， ，

由題，若直線關于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關于軸對稱，所以若直線經過定點，該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上．

設該點為， ， ，

由，得，代入， 坐標化簡得，

經過定點為．