Question

已知z是復數，z+i和

z

1-i

都是實數，（1）求復數z；（2）設關于x的方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0有實根，求純虛數m．

Answer 1

分析：（1）設z=a+bi，根據z+i為實數可求出b的值，然后根據復數的除法求出

z

1-i

的值，根據

z

1-i

為實數可求出a的值，從而求出復數z；
（2）設純虛數m=ci代入方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0，然后根據復數相等的定義可求出純虛數m．

解答：解：（1）設z=a+bi，則z+i=a+（b+1）i
∵z+i為實數∴b=-1

z

1-i

=

a+bi

1-i

=

a-i

1-i

=

(a-i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

a+1+(a-1)i

2

∵

z

1-i

為實數
∴a=1則z=1-i
（2）設純虛數m=ci則x²+x（2-i）-（3ci-1）i=0有實根
即x²+2x+3c+（1-x）i=0
∴x=1，c=-1
∴純虛數m為-i

點評：本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，以及純虛數的定義和復數相等的充要條件，屬于中檔題．