Question

（2005•上海）已知z是復數，z+2i，

z

2-i

均為實數（i為虛數單位），且復數（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：設出復數的代數形式，整理出代數形式的結果，根據兩個都是實數虛部都等于0，得到復數的代數形式．代入復數（z+ai）²，利用復數的加減和乘方運算，寫出代數的標準形式，根據復數對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結果．

解答：解：設復數z=a+bi（a，b∈R），
由題意得z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又∵

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

2b+a

5

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
對應的點在復平面的第一象限，橫標和縱標都大于0，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＞0

解得a的取值范圍為2＜a＜6．

點評：本題考查復數的加減乘除運算及復數的代數形式和幾何意義，本題解題的關鍵是整理出所給的復數的代數形式的標準形式，本題是一個中檔題目．