Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對(duì)任意，存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間再求其值域.(2)對(duì)m分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.(3)先求得，轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值得解.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以所以函數(shù)單調(diào)遞增，

故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為最大值為，所以區(qū)間上的值域?yàn)?/span>

（2）

令得

當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，所以在區(qū)間和上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，所以在區(qū)間和上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得不等式成立，所以，得，對(duì)任意恒成立

記，則

當(dāng)時(shí)，若則從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，符合題意

若，則存在，使得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不恒成立，不符合題意

若，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不符和題意。綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.