【題目】已知
為坐標原點，橢圓
：
上頂點為
，右頂點為
，離心率
，圓：
與直線
相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
，
，
為橢圓上的三個動點，直線
，
，
的斜率分別為
.
（i）若的中點為
，求直線的方程；
（ii）若
，證明：直線過定點.
【答案】（1）
；（2）（i）
；（ii）證明見解析.
【解析】
（1）由離心率和直線AB與圓相切分別得到a，b的關系式，求解得橢圓的方程；
（2）（i）由點差法求出直線EF的斜率，然后寫出方程；
（ⅱ）由直線DE、DF與橢圓的相交關系，分別求出E、F兩點的橫坐標，再利用
，求得
，另設直線
的方程為
，代入橢圓方程，利用韋達定理表示
，求得
，故得結論直線EF過定點
．
解：（1）由題意，直線
的方程為：
，即為
，
因為圓
與直線相切，所以
，
①
設橢圓的半焦距為
，因為
，
，
所以
②
由①②得：
，
，所以橢圓
的標準方程為：.
（2）設
，
，
，
（i）由題知：
，
，
兩式做差得：
，，
整理得：
，
所以此時直線的方程為：；
（ii）設直線
：
，設直線
：
，
將
代入，
得：
，
所以
，
，
因此
.
又因為，且同理可得：
，
可得，
設直線的方程為：，將代入，
得：
，
得
，所以，
所以直線過定點
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某產品的廣告支出
（單位：萬元）與銷售收入
（單位：萬元）之間有下表所對應的數據：
廣告支出 | 1 | 2 | 3 | 4 |
銷售收入 | 12 | 28 | 42 | 56 |
（1）畫出表中數據的散點圖；
（2）求出對的線性回歸方程；
（3）若廣告費為9萬元，則銷售收入約為多少萬元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，離心率為
.設過點
的直線
與橢圓
相交于不同兩點
， 
周長為
.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點
，證明：當直線
變化時，總有TA與
的斜率之和為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①，在直角梯形中
，
，
，
，點
是
邊的中點，將
沿
折起，使平面
平面
，連接
，
，
，得到如圖②所示的幾何體.
（1）求證：
平面
；
（2）若
，二面角
的平面角的正切值為
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為
，
.
（1）求直線
與圓
相切的概率；
（2）將，，5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平行四邊形
中，
，
，
，
是線段
的中點，現沿
進行翻折，使得
與
重合，得到如圖所示的四棱錐
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
是等邊三角形，求平面和平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某重點中學高三的一名學生在高考前對他在高三近一年中的所有數學考試(含模擬考試、月考、平時訓練等各種類型的試卷)分數進行統計，以此來估計自己在高考中的大致分數.為此，隨機抽取了若干份試卷作為樣本，根據此樣本數據作出如下頻率分布統計表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 20 | 0.25 |
| 50 |
|
|
|
|
| 4 | 0.05 |
（1）求表中
的值和頻率分布直方圖中
的值；
（2）若同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，試根據頻率分布直方圖求該學生高三年級數學考試分數的中位數和平均數，并對該學生自己在高考中的數學成績進行預測.
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