Question

【題目】已知數列中，，且點在直線上．

⑴求數列的通項公式；

⑵若函數（，且），求函數的最小值；

⑶設，表示數列的前項和，試問：是否存在關于的整式，使得對于一切不小于2的自然數恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）；(3)，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）將點代入直線得到，數列是以為首項，為公差的等差數列，再由得到的通項公式；（2）由（1）可得，

，，是單調遞增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后將該式整理即可得出．

試題解析：⑴點在直線上，即，且，

數列是以為首項，為公差的等差數列，

，也滿足，

⑵，

，

，

是單調遞增的，故的最小值是．

⑶，，

即，，

，．

故存在關于的整式，使等式對于一切不小于的自然數恒成立．

法二：先由的情況，猜想出，再用數學歸納法證明．