Question

【題目】定義“正對數”：ln+x= ，現有四個命題：
①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，則 ；
④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：（1）對于①，由定義，當a≥1時，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；當a＜1時，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1時bln+a=0，所以此時亦有ln+（ab）=bln+a，故①正確；
（2）對于②，此命題不成立，可令a=2，b= ，則ab= ，由定義ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②錯誤；
（3）對于③，
i． ≥1時，此時 ≥0，
當a≥b≥1時，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= ，此時則 ，命題成立；
當a＞1＞b＞0時，ln+a﹣ln+b=lna，此時 ， ＞lna，則 ，命題成立；
當1＞a≥b＞0時，ln+a﹣ln+b=0， 成立；
ii． ＜1時，同理可驗證是正確的，故③正確；
（4）對于④，
當a≥1，b≥1時，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
當a＞1，0＜b＜1時，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
當b＞1，0＜a＜1時，同理可證ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
當0＜a＜1，0＜b＜1時，可分a+b≥1和a+b＜1兩種情況，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
故④正確．
所以答案是①③④．
【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．