Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出 ；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取AB中點O，連接EO，DO．因為EB=EA，所以EO⊥AB．
因為四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四邊形OBCD為正方形，所以AB⊥OD．
因為EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．
因為ED平面EOD
所以AB⊥ED．
（Ⅱ）解：因為平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因為OD平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．
因為△EAB為等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，設OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 ，平面ABE的一個法向量為 ．
設直線EC與平面ABE所成的角為θ，
所以 ，
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為 ．
（Ⅲ）解：存在點F，且 時，有EC∥平面FBD
證明如下：由 ， ，所以 ．
設平面FBD的法向量為 =（a，b，c），則有
所以 取a=1，得 =（1，1，2）．
因為 =（1，1，﹣1）（1，1，2）=0，且EC平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即點F滿足 時，有EC∥平面FBD．

【解析】（Ⅰ）取AB中點O，連接EO，DO．利用等腰三角形的性質，可得EO⊥AB，證明邊形OBCD為正方形，可得AB⊥OD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，從而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，從而可得EO⊥OD．建立空間直角坐標系，確定平面ABE的一個法向量為 ， ，利用向量的夾角公式，可求直線EC與平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在點F，且 時，有EC∥平面FBD．確定平面FBD的法向量，證明 =0即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和向量語言表述線面的垂直、平行關系的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若才能正確解答此題．