Question

（本小題10分）已知曲線，過作軸的平行線交曲線于，過作曲線的切線與軸交于，過作與軸平行的直線交曲線于，照此下去，得到點列，和，設，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求證：；
（3）求證：曲線與它在點處的切線，以及直線所圍成的平面圖形的面積與正整數的值無關．

Answer 1

（1）
（2）證明見解析。
（3）證明見解析。

（1）．設，則直線的方程為
，令，得，，則數列是首項為1，公比為2的等比數列，于是．從而
．
（2），

．
利用，當且僅當時取等號，得
．于是
．
（3）曲邊三角形是由曲線與直線、切線所圍成的圖形．于是
，與無關，為定值．