Question

在三棱柱ABC-A′B′C′中，側面CBB′C′⊥底面ABC，∠B′BC=60°，
∠ACB=90°，且CB=CC′=CA．
（1）求證：平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）求異面直線A′B與AC′所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A′B′C′中，側面CBB′C′⊥底面ABC，∠ACB=90°，由面面垂直的性質可得AC⊥平面CBB′C′，進而得到AC⊥BC′，又由CB=C′C′，我們可以得到四邊形BCC′B′為菱形，進而得到BC′⊥B′C，然后根據線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理得到平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）延長CA到D，使CA=AD，連A'D，BD．根據棱柱的結構特征，結合異面直線夾角的定義，易得到∠DA′B為異面直線A'B與AC'所成的角，解三角形∠DA′B，即可得到異面直線A′B與AC′所成的角．

解答：解：（1）∵平面CBB'C'⊥平面ABC，AC⊥BC，
AC⊥平面CBB′C′，
∴AC⊥BC′．（2分）
∵在平行四邊形BCC′B′中，CB=C′C′，∴平行四邊形BCC′B′為菱形．
∴BC′⊥B′C
∴BC′⊥平面AB'C．                 （4分）
又BC'?平面A′C′B
∴平面AB'C⊥平面A'C'B．（6分）
（2）延長CA到D，使CA=AD，連A'D，BD．
∵AC∥A′C′，AC=A′C′，∴AD∥A′C′，AD=A′C′．
∴ADA′C′為平行四邊形．
∴A′D∥AC′，A′D=AC′，
∴∠DA′B為異面直線A'B與AC'所成的角．                              （9分）
設BC=a，∴∠BCD=90°BC=aCD=2a，
∴BD=

BC2+CD2

=

5

a
∴AC⊥平在菱形BCC'B'，∠CBB'=60°，BC=a，

又∵A′D=A′C=

2

a從而在三角形AB′D中，cosDA′B=

A′D2+A′B2-BD2

2A′D×A′B

=

2

8

．
∴∠DA′B=arccos

2

8

                                                （11分）
∴異面直線A'B與AC'所成的角的大小為arccos

2

8

．                    （12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，及異面直線所成的角，其中（1）中熟練掌握空間線面、線線、面面垂直之間的轉化是關鍵，（2）中找出與異面直線A′B與AC′所成的角相等的平面角是關鍵．