Question

【題目】根據平面向量基本定理，若為一組基底，同一平面的向量可以被唯一確定地表示為 = ，則向量與有序實數對一一對應，稱為向量的基底下的坐標；特別地，若分別為軸正方向的單位向量，則稱為向量的直角坐標.

（I）據此證明向量加法的直角坐標公式：若，則；

（II）如圖，直角中， ， 點在上，且，求向量在基底下的坐標.

Answer 1

【答案】（I）見解析.（II）.

【解析】試題分析：（ I）利用平面向量的坐標運算即可證明結論成立；

（ II）根據幾何性質得出，用、表示即可；根據幾何性質得出，再用、表示即可.

試題解析：

（I）證明：根據題意：

∴，（4分）∴.

（II）解：法一（向量法）：根據幾何性質，易知，

從而，所以，

化簡得： ，所以在基底下的坐標為.

法二（向量法）：同上可得： ，所以.

上法也可直接從開始∴.

法三（向量法）：設，則利用共線可解得.

法四（坐標法）：以為坐標原點， 方向為軸正方向建立直角坐標系（以下坐標法建系同），則，由幾何意義易得的直角坐標為.

設，則= ，又知，則由三點共線易得.

法六（坐標法）：完全參照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答過程，此處略.

法七（幾何圖形法）：將分解在方向，利用平幾知識算出邊的關系亦可.

法八（向量法）：設，則①；

由 ②，由①，②解得.

所以在基底下的坐標為.