Question

已知函數f（x）滿足（其中為f（x）在點處的導數，C為常數）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）=0有且只有兩個不等的實數根，求常數C；
（3）在（2）的條件下，若，求函數f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數，令x=求出將其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，由表求出函數的單調區間．
（2）由（1）中的表，求出函數的極大值、極小值，令極大值等于0極小值等于0求出c的值．
（3）將C的值代入f（x），根據已知條件確定出f（x），令f（x）=0求出兩個根，即函數與x的軸的兩個交點，利用定積分求出函數f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．
解答：解：（1）由，
得．
取，得，
解之，得，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
從而，
列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調遞增區間是和（1，+∞）；f（x）的單調遞減區間是
（2）由（1）知，；
[f（x）]_極小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有兩個不等的實數根，
等價于[f（x）]_極大值=0或[f（x）]_極小值=0．
∴常數或C=1．
（3）由（2）知，或f（x）=x³-x²-x+1．
而，所以f（x）=x³-x²-x+1．
令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．
∴所求封閉圖形的面積===．
點評：解決函數的單調性問題，一般求出函數的導函數，令導函數大于0求出函數的單調遞增區間；令導函數小于0求出函數的單調遞減區間．