Question

已知函數f（x）=log₂（x+1），當點 （x，y） 是函數y=f （x） 圖象上的點時，點是函數y=g（x） 圖象上的點．
（1）寫出函數y=g （x） 的表達式；
（2）當g（x）-f （x）≥0時，求x的取值范圍；
（3）當x在 （2）所給范圍內取值時，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令 =X，=Y，由題設條件知 Y=log₂（3X+1），再由（X，Y）是函數y=g（x）的圖象上的點，即可得到函數y=g（x）的解析式．
（2）由題意知 ．由對數函數的性質可得 ，解不等式組即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范圍．
（3）由題設條件知 ．由此可知結合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．
解答：解：（1）令X=，Y=，
∴x=3X，y=2Y，
∵點 （x，y） 是函數y=f （x） 圖象上，
∴2Y=log₂（3X+1），
即Y=log₂（3X+1），
∴g （x）=log₂（3x+1）（x＞-）；
（2）由g（x）-f （x）≥0，得log₂（3x+1）-log₂（x+1）≥0，
∴，
解得0≤x≤1；
∴x的取值范圍為0≤x≤1；
（3）∵因為0≤x≤1，
所以 ．
當且僅當3x+1=2時，即 x=時等號成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為 =log₂3-．
點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，其中（1）中求解析式是坐標法中的“點隨點動”問題，（2）中關鍵是根據對數函數的性質構造關于x的不等式組，（3）的關鍵是根據基本不等式，求出真數部分的最大值，進而根據對數函數的單調性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．