Question

【題目】已知函數（）．

（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意， ， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：

(1)由導函數研究切線的斜率可得切線方程為；

(2)令，結合函數的性質分類討論和兩種情況可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）依題意， ， ，故，

又，故所求切線方程為，即；

（Ⅱ）令，故函數的定義域為， ．

當變化時， ， 的變化情況如下表：

	單調減	單調增	單調減

因為， ，所以時，函數的最小值為；

因為． 因為，令得， ， ．

（i）當，即時，在上，所以函數在上單調遞增，所以函數．由得， ，所以．

（ⅱ）當，即時, 在上，在上，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由得， ，所以．

綜上所述， 的取值范圍是.