Question

【題目】設 .

（1）證明： 在上單調遞減；

（2）若，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接求導,證明0＜x＜1時, f(x)＜0 .(2)第（2）問，

分0＜a≤和＜a＜1兩種情況證明，每一種情況都是先通過求單調性再求函數的最小值大于1.

試題解析：

（1）f(x)＝．

令h(x)＝1－－lnx，則h(x)＝，x＞0，

所以0＜x＜1時，h(x)＞0，h(x)單調遞增，

又h(1)＝0，所以h(x)＜0，

即f(x)＜0，所以f(x)單調遞減．

（2）g(x)＝axlna＋axa－1＝a(ax－1lna＋xa－1)，

當0＜a≤時，lna≤－1，所以ax－1lna＋xa－1≤xa－1－ax－1．

由（Ⅰ）得，所以(a－1)lnx＜(x－1)lna，即xa－1＜ax－1，

所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上單調遞減，

即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．

當＜a＜1時，－1＜lna＜0．

令t(x)＝ax－xlna－1，0＜a＜x＜1，則t(x)＝axlna－lna＝(ax－1)lna＞0，

所以t(x)在(0，1)上單調遞增，即t(x)＞t(0)＝0，

所以ax＞xlna＋1

所以g(x)＝ax＋xa＞xa＋xlna＋1＝x(xa－1＋lna)＋1＞x(1＋lna)＋1＞1．

綜上，g(x)＞1．